Nonlinear analysis and numerical investigations of orientational effects in Swift-Hohenberg dynamics

Abstract

A formação de padrões espaço-temporais em sistemas naturais origina-se de uma dinâmica não linear rica, que pode levar ao surgimento de estruturas periódicas fora do equilíbrio. Uma das equações de maior sucesso, atualmente disponíveis, para investigar teoricamente o comportamento dessas estruturas é a Swift-Hohenberg (SH), que contém um parâmetro de bifurcação (forçagem) que controla a dinâmica alterando o nível energético do sistema. Embora uma grande parte da literatura sobre formação de padrões aborde sistemas uniformemente forçados, as forçagens não uniformes também são observadas em vários sistemas naturais, como por exemplo, em biologia do desenvolvimento e em aplicações de matéria condensada mole. Nesses casos, um efeito de orientação devido a um gradiente da forçagem é um novo fator desempenhando um papel no desenvolvimento dos padrões, particularmente na classe de padrões de listras, que investigamos por meio da dinâmica SH não uniformemente forçada. O presente trabalho aborda a estabilidade da orientação das listras e a competição entre o efeito de orientação do gradiente e outros efeitos de bulk, de borda e geométricos que participam da seleção dos padrões emergentes. Uma análise do fracamente não linear mostra que as listras tendem a se alinhar com o gradiente e se tornam instáveis quando perpendiculares à direção preferida. Esta análise é complementada por um trabalho numérico que leva em conta outros efeitos concorrentes. A abordagem numérica adotada consiste em um esquema semi-implícito de diferenças finitas com precisão de segunda ordem no tempo e no espaço, que é revisado e estendido com sucesso para as equações quadrática-cúbica (SH23) e cúbica-quíntica (SH35). As simulações mostram que as listras se alinham ou mesmo se reorientam a partir de condições preexistentes. No entanto, observamos que este efeito de orientação nem sempre prevalece em face de outros efeitos concorrentes.