Final-state approximate control for the heat equation

Abstract

Neste trabalho, dois tipos de problemas de controle em malha aberta são abordados em conexão com a equação linear de calor em domínios retangulares com condições de contorno tipo Dirichlet na qual a função de controle (dependendo apenas do tempo) constitui um termo de fonte. Em ambos os casos, o objetivo principal ´e impor um estado prescrito (distribuição de temperatura) no instante final de um dado intervalo de tempo. Sinais de controle serão selecionados com base em dois problemas de otimização, um sem restrições e outro envolvendo restrições nas magnitudes máximas dos valores obtidos pelos sinais de controle no intervalo de tempo em questão. Ambos os problemas têm o mesmo custo-funcional quadrático. Aproximações para os sinais de controle ótimo são obtidos com base na aproximação de Galerkin, de dimensão finita, para a equação linear de calor. Como consequência, os sinais de controle ótimos resultantes podem ser calculados de forma eficaz. Resultados numéricos para as equações de calor lineares 1D e 2D são apresentados para ilustrar os resultados mencionados acima. Com base nos resultados obtidos para a equação de calor linear, um esquema de linearização heurística é introduzido para tratar problemas de controle de estado final para a equação de calor não-linear. Este esquema baseia-se numa linearização por partes das ODEs não-lineares de dimensão finita correspondentes às aproximações de Galerkin da equação de calor não- linear. Alguns resultados numéricos também são apresentados para ilustrar este esquema de linearização heurística para a equação de calor não-linear 1D.